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sábado, 23 de marzo de 2013

Ecuaciones diferenciales: El problema de la braquistócrona


5. La figura 1.4.11 muestra una cuenta deslizándose hacia abajo en un cuerda sin fricción del punto P al punto Q. El  problema de la braquistócrona  pregunta qué forma debe  tener la cuerda a fin de minimizar el tiempo de deslizamiento para descender de P a Q. En junio de 1696, John Bernoulli propuso este problema como un reto para la comunidad científica, ofreciendo un plazo de seis meses (más tarde extendido a la Pascua de 1697 a petición de
George Leibniz). Isaac Newton, entonces retirado de la vida académica y sirviendo como alcalde de la Casa de Moneda en Londres, asumió el reto de Bernoulli el 29 de enero de 1697. Al día siguiente comunicó su solución —la curva de descenso en el tiempo mínimo es un arco de cicloide invertida— a la Real Sociedad de Londres. Para una deducción moderna de este resultado, suponga que la cuenta inicia desde el reposo en el origen P y que y= y(x) es la ecuación de la curva deseada en un sistema de coordenadas con los puntos del eje y hacia abajo. Entonces, una analogía mecánica de la ley de Snell en óptica implica que:

lunes, 18 de marzo de 2013

Aplicación Ley de Torricelli: Tanque esférico:



4.- Un tanque esférico con un radio de 4 ft está lleno de gasolina cuando se abre un orificio con un radio de 1 pulgada en la parte inferior, ¿cuánto tiempo se requerirá para que toda la gasolina salga del tanque?

Resolución:

 Bosquejo:


Representamos el radio en función de y, en cualquier sección horizontal del tanque. Por  Pitágoras tenemos que:



jueves, 14 de marzo de 2013

Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales: La clepsydra, o reloj de agua

2.- (La clepsydra, o reloj de agua) Un reloj de agua de 12 horas se diseña con las dimensiones que se muestran en la figura1.4.10, dada la forma de la superficie obtenida al girar la curva y =f(x)  alrededor del eje y. ¿Cuál debe ser esta curva, y qué radio debe tener el orificio circular del fondo para que el nivel del agua caiga a una velocidad constante de 4 pulgadas por hora in/h?


Resolución:











miércoles, 13 de marzo de 2013

Impacto de una granada

3.- Se lanza una granada desde un helicóptero suspendido a una altura de 800 ft arriba del piso. Desde el piso, directamente bajo el helicóptero, se dispara un proyectil en línea recta hacia la granada, exactamente 2 s después de que ésta fue soltada. ¿Con qué velocidad inicial debe dispararse el proyectil para que alcance la granada a una altitud de exactamente 400 ft?

Bosquejo:


Bosquejo


Razonamiento:
 1- Se utilizará la la función posición de un cuerpo con moviemiento rectilineo
 2.-Sea y(t) la posicion de la granda mientras desciende, entoces igualasmos y(t)=-400 feet para determinar el tiempo que tarda en descender la granda a los 400feet, llamemos ese tiempo t1.
 3.- Tenemos que en t1-2 el proyectil debe impactar la granda a 400feet de altura.
4.- Sea h(t) la altura del proyectil en cual cualquier momento , entoces h(t1-2)= 400
5.- De la ecuación anterior se despeja la velocidad inicial del proyectil


Click en las imágenes que siguen para ampliar solución




martes, 5 de marzo de 2013

Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales: Ley de enfriamiento de Newton

A que horá murió: Ley de enfriamiento de Newton
1.- Justo antes del mediodía se encuentra el cuerpo de una víctima de un presunto homicidio dentro de un cuarto que se conserva a una temperatura constante de 70 °F. A las 12 del día la temperatura del cuerpo es de 80 °F y a la 1 P.M. de 75 °F. Considere que la temperatura del cuerpo al morir era de 98.6 °F y que éste se ha enfriado de acuerdo con la ley de Newton. ¿A qué hora murió la víctima?

Resolución: ( Al final con maple 15)




















































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