8.- Aplicación Ley de Torricelli

8. Un tanque de agua tiene la forma obtenida al girar la parábola x² alrededor del eje y. La profundidad del agua es de 4 ft a las 12 del día, cuando se quita el tapón circular del fondo del tanque. A la 1 P.M. la profundidad del agua es de 1 ft.

(a) ¿Cuál es la profundidad del agua y(t) que permanece después de t h?

(b) ¿Cuándo queda vacío el tanque?

(c) Si el radio inicial de la superficie superior del agua es de 2 ft, ¿cuál es el radio del orificio circular en el fondo?

DESARROLLO

Para resolver este problema aplicaremos la Ley de Torricelli:

7.- Aplicación Ecuaciones Diferenciales de primer orden: Tanques en cascada con etanol

Suponga que en la cascada mostrada en la figura 1.5.5 inicialmente el tanque 1 contiene 100 gal de etanol puro y el tanque 2 contiene 100 gal de agua pura. El flujo de entrada al tanque 1 es de 10 gal/min de agua pura, y los otros dos flujos son también de 10 gal/min.

 (a) Encuentre las cantidades x(t) y y(t) de etanol en los dos tanques en el tiempo t≥0.

 (b) Descubra la cantidad máxima de etanol en el tanque 2

6. Aplicación Ecuaciones Diferenciales de primer orden: Dos tanques en cascada

Considere la cascada de los dos tanques mostrados en la figura  1.5.5, siendo los volúmenes de cada tanque V₁=  100 (gal) y V₂=  200 (gal) respectivamente. Aunado a ello, cada tanque contiene inicialmente 50 lb de sal. Las tres tasas de flujo indicadas en la figura son —cada una— de 5 gal/min, siendo de agua pura el flujo de entrada al tanque 1.

(a) Encuentre la cantidad x(t) de sal en el tanque 1 en el tiempo t.

(b) Suponga que y(t) es la cantidad de sal del tanque 2 en t. Muestre que

y después resuelva para y(t) aplicando la función x(t) encontrada en el inciso (a).

(c) Finalmente, halle la cantidad máxima de sal en el tanque 2.

Aviso

Estimados visitantes,

Agradezco vuestra acogida. También pido las disculpas del caso por haber dejado de subir problemas resueltos de ecuaciones diferenciales.

A partir del 15 de julio y hasta el 30 julio, resolveré y publicaré todos los  problemas que más pueda.

Atte.

Hugo Marínez L.

Ecuaciones diferenciales: El problema de la braquistócrona

5. La figura 1.4.11 muestra una cuenta deslizándose hacia abajo en un cuerda sin fricción del punto P al punto Q. El  problema de la braquistócrona  pregunta qué forma debe  tener la cuerda a fin de minimizar el tiempo de deslizamiento para descender de P a Q. En junio de 1696, John Bernoulli propuso este problema como un reto para la comunidad científica, ofreciendo un plazo de seis meses (más tarde extendido a la Pascua de 1697 a petición de

George Leibniz). Isaac Newton, entonces retirado de la vida académica y sirviendo como alcalde de la Casa de Moneda en Londres, asumió el reto de Bernoulli el 29 de enero de 1697. Al día siguiente comunicó su solución —la curva de descenso en el tiempo mínimo es un arco de cicloide invertida— a la Real Sociedad de Londres. Para una deducción moderna de este resultado, suponga que la cuenta inicia desde el reposo en el origen P y que y= y(x) es la ecuación de la curva deseada en un sistema de coordenadas con los puntos del eje y hacia abajo. Entonces, una analogía mecánica de la ley de Snell en óptica implica que:

Aplicación Ley de Torricelli: Tanque esférico:

4.- Un tanque esférico con un radio de 4 ft está lleno de gasolina cuando se abre un orificio con un radio de 1 pulgada en la parte inferior, ¿cuánto tiempo se requerirá para que toda la gasolina salga del tanque?

Resolución:

 Bosquejo:

Representamos el radio en función de y, en cualquier sección horizontal del tanque. Por  Pitágoras tenemos que:

Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales: La clepsydra, o reloj de agua

2.- (La clepsydra, o reloj de agua) Un reloj de agua de 12 horas se diseña con las dimensiones que se muestran en la figura1.4.10, dada la forma de la superficie obtenida al girar la curva y =f(x)  alrededor del eje y. ¿Cuál debe ser esta curva, y qué radio debe tener el orificio circular del fondo para que el nivel del agua caiga a una velocidad constante de 4 pulgadas por hora in/h?

Resolución:

Impacto de una granada

3.- Se lanza una granada desde un helicóptero suspendido a una altura de 800 ft arriba del piso. Desde el piso, directamente bajo el helicóptero, se dispara un proyectil en línea recta hacia la granada, exactamente 2 s después de que ésta fue soltada. ¿Con qué velocidad inicial debe dispararse el proyectil para que alcance la granada a una altitud de exactamente 400 ft?

Bosquejo:

Bosquejo

Razonamiento:
 1- Se utilizará la la función posición de un cuerpo con moviemiento rectilineo
 2.-Sea y(t) la posicion de la granda mientras desciende, entoces igualasmos y(t)=-400 feet para determinar el tiempo que tarda en descender la granda a los 400feet, llamemos ese tiempo t1.
 3.- Tenemos que en t1-2 el proyectil debe impactar la granda a 400feet de altura.
4.- Sea h(t) la altura del proyectil en cual cualquier momento , entoces h(t1-2)= 400
5.- De la ecuación anterior se despeja la velocidad inicial del proyectil


Click en las imágenes que siguen para ampliar solución

Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales: Ley de enfriamiento de Newton

A que horá murió: Ley de enfriamiento de Newton

1.- Justo antes del mediodía se encuentra el cuerpo de una víctima de un presunto homicidio dentro de un cuarto que se conserva a una temperatura constante de 70 °F. A las 12 del día la temperatura del cuerpo es de 80 °F y a la 1 P.M. de 75 °F. Considere que la temperatura del cuerpo al morir era de 98.6 °F y que éste se ha enfriado de acuerdo con la ley de Newton. ¿A qué hora murió la víctima?

Resolución: ( Al final con maple 15)



Nota: Ahora ne se olvide ayudarme haciendo click en la publicidad que está al final del cuadro de comentarios

Ejercicios Cálculo módulo IV: IPP

1.- Calcular el valor de la integral definida:

 2.- Explicar con un gráfico qué representa, geométricamente, la siguiente  expresión:

Calcular su valor

3.- Calcular el área encerrada entre las curvas

 Luego determinar un valor x₀ en el intervalo [0,1] tal que el valor del área entre las curvas

 Sea igual a un tercio del valor del área encontrada previamente

 4.-  Dada las funciones oferta y demanda de cierto producto

 Se pide calcular los excedentes de consumidor y productor.

INTEGRALES INDEFINIDADAS

1.- Hallar todos los valores reales de x tales que:

 

  Dibujar una figura adecuada e interpretar geométricamente la igualdad.

2.- Sea f(x) = x - [x] - ½ si x no es entero, y f(x) = 0 si x es entero. (Como de costumbre, [x] representa el mayor entero ≤x.) Definamos una nueva función P del modo siguiente:

    (a) Trazar la gráfica de f correspondiente al intervalo [- 3,3] Y demostrar que f es periódica de período 1: f(x + 1) = f(x) para todo x.

    (b) Demostrar que P(x) =½(x² - x), si 0≤x≤1. Y que P es periódica de período 1.

   (c) Expresar. P(x) en función de [x].

   (d) Determinar una constante c tal que ∫(P(t) + c)dt = 0.( entre 0 y 1)

   (e) Con la constante c de la parte (d), sea Q(x) = ∫(P(t) + c) dt ( entre 0 y x). Demostrar que Q es periódica con período 1 y que:

 

dsa

desarrollo

1)

 

 

 

 

Aplicación de la integral: Valor medio

1.   (a) Si f(x) = x² para 0 ≤ x ≤ a, hallar un número c que satisfaga  0< c < a y tal que  f(c) sea igual al promedio de f en [0, a].

(b) Resolver la parte (a) si f(x) = xⁿ, siendo n un entero positivo cualquiera.      

2.   En un circuito eléctrico, el voltaje e(t) en el tiempo t viene dado por la fórmula e(t) = 3 sen 2t. Calcular

a.    El voltaje medio en el intervalo de tiempo [0, π/2]

b.    La media cuadrática del voltaje; esto es, la raíz cuadrada del promedio de la función e² en el intervalo [0,π/2].

3.   En un circuito eléctrico, el voltaje e(t) y la intensidad de la corriente i(t) vienen dados por las fórmulas e(t) = 160 sen t, i(t) = 2 sen (t - π/6). La potencia media se define por la fórmula:

 

 Siendo T el período del voltaje y de la intensidad. Determinar T y calcular la potencia media.

 

Aplicación de la derivada. Parte I

1.    Recortando en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm por 50 cm un cuadrado de lado x , y doblando convenientemente, se construye una caja rectangular. Calcular el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo.

2.    Se quiere formar una lata cilíndrica, con tapa, que contenga un litro de capacidad. Calcular las dimensiones del radio y la altura de la lata, de manera tal que el material utilizado en su construcción sea mínimo.

3.    Con una cuerda de 100 metros de largo se construye un rectángulo. Determinar sus dimensiones de manera tal que el área encerrada sea máxima.

4.    Una caja de base cuadrada sin tapa debe contener 625 cm 3 (cubicos) de capacidad. Si el costo para la base es de $25 el cm2, y el costo para las paredes es $20 el cm2, determinar las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo.

Aplicación de la integral: Trabajo

9. Una partícula se mueve a lo largo del eje x mediante una fuerza impulsora f(x) = 3x² + 4x newtons.  Calcular cuántos joules de trabajo se realizan con esa fuerza para trasladar la partícula.
10.-Un peso de 150 libras se fija en un extremo de una cadena cuyo peso es de 2 libras por pie. Inicialmente el peso se suspende con 10 pies de cadena sobre el borde de un edificio de 100 pies de altura. Considerando sólo la fuerza de la gravedad, calcular el trabajo realizado cuando el peso se baja hasta una posición de 10 pies sobre el suelo.

11. En el ejercicio 10, suponer que la cadena sólo tiene 60 pies de longitud y que el peso

y la cadena se dejan caer al suelo, partiendo de la misma posición inicial que antes.

Calcular el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad cuando el peso alcanza el suelo.

Aplicación de la integral: Volumen

8) Dibujar un esquema de la región del plano xy formada por todos los puntos (x, y) que  satisfacen las desigualdades simultáneas 0≤x≤2,  (1/4)x²≤y≤1. Calcular el volumen del sólido obtenido haciendo girar esta región:
a) Alrededor del eje x
b) Alrededor del eje  y
c) Alrededor de la vertical que pasa por (2, 0)
d) Alrededor de la horizontal que pasa por (0, 1

Aplicación de la integral: Volumen de un prismatoide

7).- Hallar el volumen de un sólido cuya sección transversal por un plano perpendicular al eje x tiene de área ax² + bx + c para cada x del intervalo 0<= x<= h. Expresar el  volumen en función de las áreas B₁, M y B₂  de las secciones transversales correspondientes a x=0,  x = h/2 y x = h, respectivamente. La fórmula que resulta se conoce por fórmula del prismatoide.

 

Aplicación de la integral (volúmenes)

1.- ¿Qué volumen de material se quita de una esfera de radio 2r cuando se atraviesa con un taladro, formando un agujero centrado de radio r?

2.- Un servilletero se obtiene practicando un agujero cilíndrico en una esfera de modo que el eje de aquél pase por el centro de ésta. Si la longitud del agujero es 2h, demostrar que el volumen del servilletero esπah^3, siendo a un número racional

5.- Un sólido tiene una base circular de radio r. Cada sección producida por un plano perpendicular a un diámetro fijo es un triángulo equilátero. Calcular el volumen del sólido

6.- Las secciones transversales de un sólido por planos perpendiculares al eje x son cuadrados con centros en dicho eje. Si al cortar por el plano perpendicular en el punto de abscisa x, se obtiene un cuadrado cuyo lado es 2x², se trata de hallar el volumen del sólido entre x = 0 y x = a. Dibujar un esquema.

Cálculo de límites y continuidad (administración de empresas)

 

 

NOTA :Ver aquí regla de LHopital

 

 Ejercicio 3:

 

Click en la imagen para ver el desarrollo:

 



 

 

Ejercicios de funciones continuas: Ver  el siguiente video  antes de continuar  (educatina.com)

 



 

 

Análisis:

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 



Aplicación de la integral , ejercicio 2

Dibujar las gráficas de f(x) = √x y g(x) = x/2 en el intervalo [0,2]. Hallar un número t, 1 < t < 2, de modo que cuando la región entre las gráficas de f y g sobre el intervalo [0, t] gira alrededor del eje x, engendra un sólido de revolución cuyo volumen es igual a πt^3/3.

Gráficos de f(x) y g(x):

 



El t que andamos buscando debe estar en el intervalo [1,2], por lo tanto la solución es t=6/5

El sólido formado tiene la siguiente forma:

 

Aplicaciones de la integral

1.- Calcular las áreas de los dodecágonos regulares inscrito y circunscrito en un disco circular unidad  y deducir del resultado las desigualdades 3 <π < 12(2 - √3).

 Desarrollo:

 - Dibujamos el dodecágono inscrito en una circunferencia de radio 1 (en este caso utilicé maple15)

Gráfico 1

- Calculamos el área de dodecágono ( A=3r² ) , pero loa reamos plaicando la integral.
Al ver la figura de arriba podemos deducir r  que su área esta formada por 12 triángulos iguales, por lo tanto calcularemos el área de dicho triangulo y lo multiplicaremos por 12.

Para ellos determinaremos las ecuaciones de las rectas que lo forman e integraremos convenientemente.

Las ecuaciones son :

Figura 2

 

 

 

Observación: El punto  X1=√3/2 (ver grafico 1) lo calculamos: cos(30°)=X1/1, Y2 de forma similar usando seno.

 

 

Area del triángulo:

Area dodecágono inscrito en la circunsferencia unidad= 12*(1/4)=   3   

 

Area de la circunferencia unidad:

; es evidente 3 <π, 3= Area del dodecagono, π= área circunsferencia

 

Está pendiente por demostrar  π< 12(2 - √3),  dónde  12(2 - √3) es el área del dodecágono circunscrito a la circunferencia de radio 1. Para que el dodecágono este circunscrito a la circunferencia su apotema debe ser 1. Que es la altura del tríangulo de la figura 3

Dodecágono circunscrito a la circunsferencia de radio 1

 Figura 3

Para calcular su área, calculamos el área del triángulo y lo multiplicamos por 12,  dado por las ecuaciones: Para determinar las ecuaciones debemos calcular la distancia r,  a y  b.

Nota: recordar que apotema=1

 

Ecuaciones que reppesentan el triangulo:

 

 

 

 AREA DODECAGONO CIRCUSNCRITO:

 

 

 

 

 

Por lo tanto se cumple:  3 <π< 12(2 - √3).