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martes, 18 de junio de 2013

7.- Aplicación Ecuaciones Diferenciales de primer orden: Tanques en cascada con etanol

Suponga que en la cascada mostrada en la figura 1.5.5 inicialmente el tanque 1 contiene 100 gal de etanol puro y el tanque 2 contiene 100 gal de agua pura. El flujo de entrada al tanque 1 es de 10 gal/min de agua pura, y los otros dos flujos son también de 10 gal/min.
 (a) Encuentre las cantidades x(t) y y(t) de etanol en los dos tanques en el tiempo t≥0.

 (b) Descubra la cantidad máxima de etanol en el tanque 2





Resolución
(a)         
Cantidad de etanol en tanque 1 x(t):
En forma análoga al ejercicio 6, razonamos como varía o cambia (Δx)  la cantidad de etanol  en el  tanque 1  transcurrido  un pequeño lapso de  tiempo Δt.
Observación: El volumen (100gal)  en el tanque1 y 2  es constante, dado que el flujo de salida es igual al flujo de entrada 10gal/min.


Cantidad de etanol en tanque 2 y(t):


Escribimos la ecuación en la forma:

Para resolver  esta   Ecuación Lineal de Primer Orden seguiremos los siguientes pasos:
1.- Calcular factor de integración:

2.- Multiplicar ambos lados de la ecuación (2) por el factor de integración ρ(t):


3.- El lado izquierdo de la ecuación (3) identificarlo como la derivada de un producto con respecto a t



4.- Integrar la ecuación (4)
b)   Cantidad máxima de etanol en tanque 2

La cantidad máxima de etanol en el estanque 2 se producirá en el minuto en que la pendiente de y(t) sea cero, es decir, y’(t)=0

Calculamos la derivada de y’(t)
Hacemos y’(t)=0, despejamos t y evaluamos la función y(t) en el t obtenido:

Respuesta: La cantidad máxima de etanol de 36.789 galones en el tanque 2 se produce aproximadamente a los 10 minutos de iniciado el proceso.
 

3 comentarios:

  1. Respuestas
    1. Qué bueno que te gustara, tengo un poco abandonado este blog ya que para resolver este tipo de problemas de requiere tiempo, especialmente para transcribirlos pero ya lo retomaré. Saludos!!

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  2. Hola, quisiera saber por que en t=0 X=100?? No entiendo, es como si se tomará el mismo volumen otra vez

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