7.- Aplicación Ecuaciones Diferenciales de primer orden: Tanques en cascada con etanol

Suponga que en la cascada mostrada en la figura 1.5.5 inicialmente el tanque 1 contiene 100 gal de etanol puro y el tanque 2 contiene 100 gal de agua pura. El flujo de entrada al tanque 1 es de 10 gal/min de agua pura, y los otros dos flujos son también de 10 gal/min.

 (a) Encuentre las cantidades x(t) y y(t) de etanol en los dos tanques en el tiempo t≥0.

 (b) Descubra la cantidad máxima de etanol en el tanque 2

Resolución

(a)         

Cantidad de etanol en tanque 1 x(t):

En forma análoga al ejercicio 6, razonamos como varía o cambia (Δx)  la cantidad de etanol  en el  tanque 1  transcurrido  un pequeño lapso de  tiempo Δt.

Observación: El volumen (100gal)  en el tanque1 y 2  es constante, dado que el flujo de salida es igual al flujo de entrada 10gal/min.

Cantidad de etanol en tanque 2 y(t):

Escribimos la ecuación en la forma:

Para resolver  esta   Ecuación Lineal de Primer Orden seguiremos los siguientes pasos:

1.- Calcular factor de integración:

2.- Multiplicar ambos lados de la ecuación (2) por el factor de integración ρ(t):

3.- El lado izquierdo de la ecuación (3) identificarlo como la derivada de un producto con respecto a t: 

4.- Integrar la ecuación (4)

b)   Cantidad máxima de etanol en tanque 2

La cantidad máxima de etanol en el estanque 2 se producirá en el minuto en que la pendiente de y(t) sea cero, es decir, y’(t)=0

Calculamos la derivada de y’(t)

Hacemos y’(t)=0, despejamos t y evaluamos la función y(t) en el t obtenido:

Respuesta: La cantidad máxima de etanol de 36.789 galones en el tanque 2 se produce aproximadamente a los 10 minutos de iniciado el proceso.