6. Aplicación Ecuaciones Diferenciales de primer orden: Dos tanques en cascada

Considere la cascada de los dos tanques mostrados en la figura  1.5.5, siendo los volúmenes de cada tanque V₁=  100 (gal) y V₂=  200 (gal) respectivamente. Aunado a ello, cada tanque contiene inicialmente 50 lb de sal. Las tres tasas de flujo indicadas en la figura son —cada una— de 5 gal/min, siendo de agua pura el flujo de entrada al tanque 1.

(a) Encuentre la cantidad x(t) de sal en el tanque 1 en el tiempo t.

(b) Suponga que y(t) es la cantidad de sal del tanque 2 en t. Muestre que

y después resuelva para y(t) aplicando la función x(t) encontrada en el inciso (a).

(c) Finalmente, halle la cantidad máxima de sal en el tanque 2.

Resolución

 a)    

Para deducir  la ecuación diferencial que nos permita determinar la cantidad de sal en cualquier instante, nos concentraremos en un pequeño  intervalo de tiempo, por ejemplo, ( t ,  t+ ∆t) , y razonaremos lo que ocurre con la  cantidad sal en el  tanque 1.

En ese tiempo, ∆t,  existirá una pequeña  variación en la cantidad de sal, que es la siguiente:

¿Cuánta sal entra al estanque en ∆t min?

Entran cero gramos, dado que solo está entrando agua pura, es decir:

Grms de entrada= Flujo de agua * concentración de soluto (sal)*∆t

Grms de entrada= 5gal/min * 0*∆t=0

¿Cuánta sal sale del estanque  en ∆t min?

Grms de salida= Flujo de agua * concentración de soluto (sal)*∆t

Entonces tenemos que:

b)    

En esencia el razonamiento es el mismo  usado en a)

q₀: Es el caudal de entrada al tanque 2

q1: Es el caudal de salida del tanque 2

c₀: Es la concentración de soluto en el caudal de entrada al tanque2

c₁: Es la concentración de soluto en el caudal de salida del tanque2

Comentario: Dado que el caudal de entrada es igual al caudal de salida, el volumen en cada estanque es constante en el tiempo.

Hemos demostrado lo solicitado.

Ahora resolveremos esta ecuación diferencial, para ello empezaremos reemplazando x por el valor obtenido  en a):

Escribimos la ecuación en la forma:

Para resolver  esta   Ecuación Lineal de Primer Orden seguiremos los siguientes pasos:

1.- Calcular factor de integración:

2.- Multiplicar ambos lados de la ecuación (2) por el factor de integración ρ(t):

3.- El lado izquierdo de la ecuación (3) identificarlo como la derivada de un producto:

4.- Integrar la ecuación (4)

c)   Cantidad máxima de sal en el estanque 2

La cantidad máxima de sal en el estanque 2 se producirá en el minuto en que la pendiente de y(t) sea cero, es decir, y’(t)=0