8.- Aplicación Ley de Torricelli

8. Un tanque de agua tiene la forma obtenida al girar la parábola x² alrededor del eje y. La profundidad del agua es de 4 ft a las 12 del día, cuando se quita el tapón circular del fondo del tanque. A la 1 P.M. la profundidad del agua es de 1 ft.

(a) ¿Cuál es la profundidad del agua y(t) que permanece después de t h?

(b) ¿Cuándo queda vacío el tanque?

(c) Si el radio inicial de la superficie superior del agua es de 2 ft, ¿cuál es el radio del orificio circular en el fondo?

DESARROLLO

Para resolver este problema aplicaremos la Ley de Torricelli:

7.- Aplicación Ecuaciones Diferenciales de primer orden: Tanques en cascada con etanol

Suponga que en la cascada mostrada en la figura 1.5.5 inicialmente el tanque 1 contiene 100 gal de etanol puro y el tanque 2 contiene 100 gal de agua pura. El flujo de entrada al tanque 1 es de 10 gal/min de agua pura, y los otros dos flujos son también de 10 gal/min.

 (a) Encuentre las cantidades x(t) y y(t) de etanol en los dos tanques en el tiempo t≥0.

 (b) Descubra la cantidad máxima de etanol en el tanque 2

6. Aplicación Ecuaciones Diferenciales de primer orden: Dos tanques en cascada

Considere la cascada de los dos tanques mostrados en la figura  1.5.5, siendo los volúmenes de cada tanque V₁=  100 (gal) y V₂=  200 (gal) respectivamente. Aunado a ello, cada tanque contiene inicialmente 50 lb de sal. Las tres tasas de flujo indicadas en la figura son —cada una— de 5 gal/min, siendo de agua pura el flujo de entrada al tanque 1.

(a) Encuentre la cantidad x(t) de sal en el tanque 1 en el tiempo t.

(b) Suponga que y(t) es la cantidad de sal del tanque 2 en t. Muestre que

y después resuelva para y(t) aplicando la función x(t) encontrada en el inciso (a).

(c) Finalmente, halle la cantidad máxima de sal en el tanque 2.

Aviso

Estimados visitantes,

Agradezco vuestra acogida. También pido las disculpas del caso por haber dejado de subir problemas resueltos de ecuaciones diferenciales.

A partir del 15 de julio y hasta el 30 julio, resolveré y publicaré todos los  problemas que más pueda.

Atte.

Hugo Marínez L.

Ecuaciones diferenciales: El problema de la braquistócrona

5. La figura 1.4.11 muestra una cuenta deslizándose hacia abajo en un cuerda sin fricción del punto P al punto Q. El  problema de la braquistócrona  pregunta qué forma debe  tener la cuerda a fin de minimizar el tiempo de deslizamiento para descender de P a Q. En junio de 1696, John Bernoulli propuso este problema como un reto para la comunidad científica, ofreciendo un plazo de seis meses (más tarde extendido a la Pascua de 1697 a petición de

George Leibniz). Isaac Newton, entonces retirado de la vida académica y sirviendo como alcalde de la Casa de Moneda en Londres, asumió el reto de Bernoulli el 29 de enero de 1697. Al día siguiente comunicó su solución —la curva de descenso en el tiempo mínimo es un arco de cicloide invertida— a la Real Sociedad de Londres. Para una deducción moderna de este resultado, suponga que la cuenta inicia desde el reposo en el origen P y que y= y(x) es la ecuación de la curva deseada en un sistema de coordenadas con los puntos del eje y hacia abajo. Entonces, una analogía mecánica de la ley de Snell en óptica implica que: