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sábado, 23 de marzo de 2013

Ecuaciones diferenciales: El problema de la braquistócrona


5. La figura 1.4.11 muestra una cuenta deslizándose hacia abajo en un cuerda sin fricción del punto P al punto Q. El  problema de la braquistócrona  pregunta qué forma debe  tener la cuerda a fin de minimizar el tiempo de deslizamiento para descender de P a Q. En junio de 1696, John Bernoulli propuso este problema como un reto para la comunidad científica, ofreciendo un plazo de seis meses (más tarde extendido a la Pascua de 1697 a petición de
George Leibniz). Isaac Newton, entonces retirado de la vida académica y sirviendo como alcalde de la Casa de Moneda en Londres, asumió el reto de Bernoulli el 29 de enero de 1697. Al día siguiente comunicó su solución —la curva de descenso en el tiempo mínimo es un arco de cicloide invertida— a la Real Sociedad de Londres. Para una deducción moderna de este resultado, suponga que la cuenta inicia desde el reposo en el origen P y que y= y(x) es la ecuación de la curva deseada en un sistema de coordenadas con los puntos del eje y hacia abajo. Entonces, una analogía mecánica de la ley de Snell en óptica implica que:









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