5. La figura 1.4.11 muestra una cuenta
deslizándose hacia abajo en un cuerda sin fricción del punto P al punto Q. El problema de la braquistócrona
pregunta qué forma debe tener la cuerda a fin de minimizar el tiempo
de deslizamiento para descender de P
a Q. En junio de 1696, John Bernoulli
propuso este problema como un reto para la comunidad científica, ofreciendo un
plazo de seis meses (más tarde extendido a la Pascua de 1697 a petición de
George Leibniz). Isaac Newton, entonces
retirado de la vida académica y sirviendo como alcalde de la Casa de Moneda en
Londres, asumió el reto de Bernoulli el 29 de enero de 1697. Al día siguiente
comunicó su solución —la curva de descenso en el tiempo mínimo es un arco de
cicloide invertida— a la Real Sociedad de Londres. Para una deducción moderna
de este resultado, suponga que la cuenta inicia desde el reposo en el origen P y que y= y(x) es la ecuación de la curva deseada en un sistema de
coordenadas con los puntos del eje y
hacia abajo. Entonces, una analogía mecánica de la ley de Snell en óptica
implica que:
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