Ejercicios Cálculo módulo IV: IPP

1.- Calcular el valor de la integral definida:

 2.- Explicar con un gráfico qué representa, geométricamente, la siguiente  expresión:

Calcular su valor

3.- Calcular el área encerrada entre las curvas

 Luego determinar un valor x₀ en el intervalo [0,1] tal que el valor del área entre las curvas

 Sea igual a un tercio del valor del área encontrada previamente

 4.-  Dada las funciones oferta y demanda de cierto producto

 Se pide calcular los excedentes de consumidor y productor.

INTEGRALES INDEFINIDADAS

1.- Hallar todos los valores reales de x tales que:

 

  Dibujar una figura adecuada e interpretar geométricamente la igualdad.

2.- Sea f(x) = x - [x] - ½ si x no es entero, y f(x) = 0 si x es entero. (Como de costumbre, [x] representa el mayor entero ≤x.) Definamos una nueva función P del modo siguiente:

    (a) Trazar la gráfica de f correspondiente al intervalo [- 3,3] Y demostrar que f es periódica de período 1: f(x + 1) = f(x) para todo x.

    (b) Demostrar que P(x) =½(x² - x), si 0≤x≤1. Y que P es periódica de período 1.

   (c) Expresar. P(x) en función de [x].

   (d) Determinar una constante c tal que ∫(P(t) + c)dt = 0.( entre 0 y 1)

   (e) Con la constante c de la parte (d), sea Q(x) = ∫(P(t) + c) dt ( entre 0 y x). Demostrar que Q es periódica con período 1 y que:

 

dsa

desarrollo

1)

 

 

 

 

Aplicación de la integral: Valor medio

1.   (a) Si f(x) = x² para 0 ≤ x ≤ a, hallar un número c que satisfaga  0< c < a y tal que  f(c) sea igual al promedio de f en [0, a].

(b) Resolver la parte (a) si f(x) = xⁿ, siendo n un entero positivo cualquiera.      

2.   En un circuito eléctrico, el voltaje e(t) en el tiempo t viene dado por la fórmula e(t) = 3 sen 2t. Calcular

a.    El voltaje medio en el intervalo de tiempo [0, π/2]

b.    La media cuadrática del voltaje; esto es, la raíz cuadrada del promedio de la función e² en el intervalo [0,π/2].

3.   En un circuito eléctrico, el voltaje e(t) y la intensidad de la corriente i(t) vienen dados por las fórmulas e(t) = 160 sen t, i(t) = 2 sen (t - π/6). La potencia media se define por la fórmula:

 

 Siendo T el período del voltaje y de la intensidad. Determinar T y calcular la potencia media.

 

Aplicación de la derivada. Parte I

1.    Recortando en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm por 50 cm un cuadrado de lado x , y doblando convenientemente, se construye una caja rectangular. Calcular el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo.

2.    Se quiere formar una lata cilíndrica, con tapa, que contenga un litro de capacidad. Calcular las dimensiones del radio y la altura de la lata, de manera tal que el material utilizado en su construcción sea mínimo.

3.    Con una cuerda de 100 metros de largo se construye un rectángulo. Determinar sus dimensiones de manera tal que el área encerrada sea máxima.

4.    Una caja de base cuadrada sin tapa debe contener 625 cm 3 (cubicos) de capacidad. Si el costo para la base es de $25 el cm2, y el costo para las paredes es $20 el cm2, determinar las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo.