Aplicación de la integral: Valor medio

1.   (a) Si f(x) = x² para 0 ≤ x ≤ a, hallar un número c que satisfaga  0< c < a y tal que  f(c) sea igual al promedio de f en [0, a].

(b) Resolver la parte (a) si f(x) = xⁿ, siendo n un entero positivo cualquiera.      

2.   En un circuito eléctrico, el voltaje e(t) en el tiempo t viene dado por la fórmula e(t) = 3 sen 2t. Calcular

a.    El voltaje medio en el intervalo de tiempo [0, π/2]

b.    La media cuadrática del voltaje; esto es, la raíz cuadrada del promedio de la función e² en el intervalo [0,π/2].

3.   En un circuito eléctrico, el voltaje e(t) y la intensidad de la corriente i(t) vienen dados por las fórmulas e(t) = 160 sen t, i(t) = 2 sen (t - π/6). La potencia media se define por la fórmula:

 

 Siendo T el período del voltaje y de la intensidad. Determinar T y calcular la potencia media.

 

 

Desarrollo

 

1. a : Calculamos el valor medio de f , igualamos a f(c) y despues depejamos c:

 

 

1.b: Idem 1.a, solo que ahora f cambia de valor:

 

 



 2.a : Calcuamos el valor medio de e(t) en el intervalo indicado:

 

 

2.b : Calculamos el valor medio de e²(x) y al resultado le aplicamos raíz cuadrada:

 

 

3 : Calcularemos el periodo T. En una función periodica tenemos que:

f(x+P)=f(x), Donde P es el periodo de dicha. En nuestro caso ambas funciones estan determinadas por senos, cuyo periodo es 2Pi, en este

T=2Pi segundos

Y la potencia media es: