Aplicaciones de la integral

1.- Calcular las áreas de los dodecágonos regulares inscrito y circunscrito en un disco circular unidad  y deducir del resultado las desigualdades 3 <π < 12(2 - √3).

 Desarrollo:

 - Dibujamos el dodecágono inscrito en una circunferencia de radio 1 (en este caso utilicé maple15)

Gráfico 1

- Calculamos el área de dodecágono ( A=3r² ) , pero loa reamos plaicando la integral.
Al ver la figura de arriba podemos deducir r  que su área esta formada por 12 triángulos iguales, por lo tanto calcularemos el área de dicho triangulo y lo multiplicaremos por 12.

Para ellos determinaremos las ecuaciones de las rectas que lo forman e integraremos convenientemente.

Las ecuaciones son :

Figura 2

 

 

 

Observación: El punto  X1=√3/2 (ver grafico 1) lo calculamos: cos(30°)=X1/1, Y2 de forma similar usando seno.

 

 

Area del triángulo:

Area dodecágono inscrito en la circunsferencia unidad= 12*(1/4)=   3   

 

Area de la circunferencia unidad:

; es evidente 3 <π, 3= Area del dodecagono, π= área circunsferencia

 

Está pendiente por demostrar  π< 12(2 - √3),  dónde  12(2 - √3) es el área del dodecágono circunscrito a la circunferencia de radio 1. Para que el dodecágono este circunscrito a la circunferencia su apotema debe ser 1. Que es la altura del tríangulo de la figura 3

Dodecágono circunscrito a la circunsferencia de radio 1

 Figura 3

Para calcular su área, calculamos el área del triángulo y lo multiplicamos por 12,  dado por las ecuaciones: Para determinar las ecuaciones debemos calcular la distancia r,  a y  b.

Nota: recordar que apotema=1

 

Ecuaciones que reppesentan el triangulo:

 

 

 

 AREA DODECAGONO CIRCUSNCRITO:

 

 

 

 

 

Por lo tanto se cumple:  3 <π< 12(2 - √3).