Aplicación de la integral: Volumen

8) Dibujar un esquema de la región del plano xy formada por todos los puntos (x, y) que  satisfacen las desigualdades simultáneas 0≤x≤2,  (1/4)x²≤y≤1. Calcular el volumen del sólido obtenido haciendo girar esta región:
a) Alrededor del eje x
b) Alrededor del eje  y
c) Alrededor de la vertical que pasa por (2, 0)
d) Alrededor de la horizontal que pasa por (0, 1



Bosquejo


Figura 1

Sea g(x)=1 Λ f(x)= x²/4

a) Alrededor del eje x.

El volumen generado al  girar región de la figura1 al rededor del eje x es:

 



b) Alrededor del eje y

Invertimos  f(x) ,   y =x²/4,

4y= x^2,  entoces  x=  2√y  .  Luego el volumen es:

c) Alrededor de la vertical que pasa por (2, 0)

1) Cambiamos el origen del gráfico,  de (0,0) a (-2,0), es decir f(x) va  quedar como:f(x)=(x+2)² /4 , esto para hacer coincidir la vertical con el eje y


Figura 2

2) Invertimos f(x), quedando x=  2√y - 2
3) Ahora la vertical (2,0) es el eje y
4) Caculamos el volumen:

d) Alrededor de la horizontal que pasa por (0, 1)
Cambiamos el origen del gráfico  a 0,-1) para hacer coincidir la horinzontal con el eje x
es decir:


f(x) queda como
f(x)= (x²/4)-1, luego el volumen buscado es: