Ejercicios Cálculo módulo IV: IPP

1.- Calcular el valor de la integral definida:

 2.- Explicar con un gráfico qué representa, geométricamente, la siguiente  expresión:

Calcular su valor

3.- Calcular el área encerrada entre las curvas

 Luego determinar un valor x₀ en el intervalo [0,1] tal que el valor del área entre las curvas

 Sea igual a un tercio del valor del área encontrada previamente

 4.-  Dada las funciones oferta y demanda de cierto producto

 Se pide calcular los excedentes de consumidor y productor.

INTEGRALES INDEFINIDADAS

1.- Hallar todos los valores reales de x tales que:

 

  Dibujar una figura adecuada e interpretar geométricamente la igualdad.

2.- Sea f(x) = x - [x] - ½ si x no es entero, y f(x) = 0 si x es entero. (Como de costumbre, [x] representa el mayor entero ≤x.) Definamos una nueva función P del modo siguiente:

    (a) Trazar la gráfica de f correspondiente al intervalo [- 3,3] Y demostrar que f es periódica de período 1: f(x + 1) = f(x) para todo x.

    (b) Demostrar que P(x) =½(x² - x), si 0≤x≤1. Y que P es periódica de período 1.

   (c) Expresar. P(x) en función de [x].

   (d) Determinar una constante c tal que ∫(P(t) + c)dt = 0.( entre 0 y 1)

   (e) Con la constante c de la parte (d), sea Q(x) = ∫(P(t) + c) dt ( entre 0 y x). Demostrar que Q es periódica con período 1 y que:

 

dsa

desarrollo

1)

 

 

 

 

Aplicación de la integral: Valor medio

1.   (a) Si f(x) = x² para 0 ≤ x ≤ a, hallar un número c que satisfaga  0< c < a y tal que  f(c) sea igual al promedio de f en [0, a].

(b) Resolver la parte (a) si f(x) = xⁿ, siendo n un entero positivo cualquiera.      

2.   En un circuito eléctrico, el voltaje e(t) en el tiempo t viene dado por la fórmula e(t) = 3 sen 2t. Calcular

a.    El voltaje medio en el intervalo de tiempo [0, π/2]

b.    La media cuadrática del voltaje; esto es, la raíz cuadrada del promedio de la función e² en el intervalo [0,π/2].

3.   En un circuito eléctrico, el voltaje e(t) y la intensidad de la corriente i(t) vienen dados por las fórmulas e(t) = 160 sen t, i(t) = 2 sen (t - π/6). La potencia media se define por la fórmula:

 

 Siendo T el período del voltaje y de la intensidad. Determinar T y calcular la potencia media.

 

Aplicación de la derivada. Parte I

1.    Recortando en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm por 50 cm un cuadrado de lado x , y doblando convenientemente, se construye una caja rectangular. Calcular el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo.

2.    Se quiere formar una lata cilíndrica, con tapa, que contenga un litro de capacidad. Calcular las dimensiones del radio y la altura de la lata, de manera tal que el material utilizado en su construcción sea mínimo.

3.    Con una cuerda de 100 metros de largo se construye un rectángulo. Determinar sus dimensiones de manera tal que el área encerrada sea máxima.

4.    Una caja de base cuadrada sin tapa debe contener 625 cm 3 (cubicos) de capacidad. Si el costo para la base es de $25 el cm2, y el costo para las paredes es $20 el cm2, determinar las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo.

Aplicación de la integral: Trabajo

9. Una partícula se mueve a lo largo del eje x mediante una fuerza impulsora f(x) = 3x² + 4x newtons.  Calcular cuántos joules de trabajo se realizan con esa fuerza para trasladar la partícula.
10.-Un peso de 150 libras se fija en un extremo de una cadena cuyo peso es de 2 libras por pie. Inicialmente el peso se suspende con 10 pies de cadena sobre el borde de un edificio de 100 pies de altura. Considerando sólo la fuerza de la gravedad, calcular el trabajo realizado cuando el peso se baja hasta una posición de 10 pies sobre el suelo.

11. En el ejercicio 10, suponer que la cadena sólo tiene 60 pies de longitud y que el peso

y la cadena se dejan caer al suelo, partiendo de la misma posición inicial que antes.

Calcular el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad cuando el peso alcanza el suelo.

Aplicación de la integral: Volumen

8) Dibujar un esquema de la región del plano xy formada por todos los puntos (x, y) que  satisfacen las desigualdades simultáneas 0≤x≤2,  (1/4)x²≤y≤1. Calcular el volumen del sólido obtenido haciendo girar esta región:
a) Alrededor del eje x
b) Alrededor del eje  y
c) Alrededor de la vertical que pasa por (2, 0)
d) Alrededor de la horizontal que pasa por (0, 1

Aplicación de la integral: Volumen de un prismatoide

7).- Hallar el volumen de un sólido cuya sección transversal por un plano perpendicular al eje x tiene de área ax² + bx + c para cada x del intervalo 0<= x<= h. Expresar el  volumen en función de las áreas B₁, M y B₂  de las secciones transversales correspondientes a x=0,  x = h/2 y x = h, respectivamente. La fórmula que resulta se conoce por fórmula del prismatoide.

 

Aplicación de la integral (volúmenes)

1.- ¿Qué volumen de material se quita de una esfera de radio 2r cuando se atraviesa con un taladro, formando un agujero centrado de radio r?

2.- Un servilletero se obtiene practicando un agujero cilíndrico en una esfera de modo que el eje de aquél pase por el centro de ésta. Si la longitud del agujero es 2h, demostrar que el volumen del servilletero esπah^3, siendo a un número racional

5.- Un sólido tiene una base circular de radio r. Cada sección producida por un plano perpendicular a un diámetro fijo es un triángulo equilátero. Calcular el volumen del sólido

6.- Las secciones transversales de un sólido por planos perpendiculares al eje x son cuadrados con centros en dicho eje. Si al cortar por el plano perpendicular en el punto de abscisa x, se obtiene un cuadrado cuyo lado es 2x², se trata de hallar el volumen del sólido entre x = 0 y x = a. Dibujar un esquema.

Cálculo de límites y continuidad (administración de empresas)

 

 

NOTA :Ver aquí regla de LHopital

 

 Ejercicio 3:

 

Click en la imagen para ver el desarrollo:

 



 

 

Ejercicios de funciones continuas: Ver  el siguiente video  antes de continuar  (educatina.com)

 



 

 

Análisis:

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 



Aplicación de la integral , ejercicio 2

Dibujar las gráficas de f(x) = √x y g(x) = x/2 en el intervalo [0,2]. Hallar un número t, 1 < t < 2, de modo que cuando la región entre las gráficas de f y g sobre el intervalo [0, t] gira alrededor del eje x, engendra un sólido de revolución cuyo volumen es igual a πt^3/3.

Gráficos de f(x) y g(x):

 



El t que andamos buscando debe estar en el intervalo [1,2], por lo tanto la solución es t=6/5

El sólido formado tiene la siguiente forma:

 

Aplicaciones de la integral

1.- Calcular las áreas de los dodecágonos regulares inscrito y circunscrito en un disco circular unidad  y deducir del resultado las desigualdades 3 <π < 12(2 - √3).

 Desarrollo:

 - Dibujamos el dodecágono inscrito en una circunferencia de radio 1 (en este caso utilicé maple15)

Gráfico 1

- Calculamos el área de dodecágono ( A=3r² ) , pero loa reamos plaicando la integral.
Al ver la figura de arriba podemos deducir r  que su área esta formada por 12 triángulos iguales, por lo tanto calcularemos el área de dicho triangulo y lo multiplicaremos por 12.

Para ellos determinaremos las ecuaciones de las rectas que lo forman e integraremos convenientemente.

Las ecuaciones son :

Figura 2

 

 

 

Observación: El punto  X1=√3/2 (ver grafico 1) lo calculamos: cos(30°)=X1/1, Y2 de forma similar usando seno.

 

 

Area del triángulo:

Area dodecágono inscrito en la circunsferencia unidad= 12*(1/4)=   3   

 

Area de la circunferencia unidad:

; es evidente 3 <π, 3= Area del dodecagono, π= área circunsferencia

 

Está pendiente por demostrar  π< 12(2 - √3),  dónde  12(2 - √3) es el área del dodecágono circunscrito a la circunferencia de radio 1. Para que el dodecágono este circunscrito a la circunferencia su apotema debe ser 1. Que es la altura del tríangulo de la figura 3

Dodecágono circunscrito a la circunsferencia de radio 1

 Figura 3

Para calcular su área, calculamos el área del triángulo y lo multiplicamos por 12,  dado por las ecuaciones: Para determinar las ecuaciones debemos calcular la distancia r,  a y  b.

Nota: recordar que apotema=1

 

Ecuaciones que reppesentan el triangulo:

 

 

 

 AREA DODECAGONO CIRCUSNCRITO:

 

 

 

 

 

Por lo tanto se cumple:  3 <π< 12(2 - √3).

Integrar sqrt(2*a^2-a^2*cos(t)^2+a^2*sin(t)^2)

Integrar sqrt(2*a^2-a^2*cos(t)^2+a^2*sin(t)^2)

Ejemplo 2: maximizar utilidad

Otro ejercicio solicitado:

 Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de cierto artículo cada mes, el costo total será C(x) = 0.4X² + 3X + 40 dólares por unidad y las X unidades pueden venderse a un precio de p(x) = 0.2 (45 – 0.2x) dólares la unidad.
Determinar el nivel de producción que resulte a máxima utilidad.
¿Cuál es la máxima utilidad?


SOLUCION:

CORRECCION:  EN LA UTILIDAD, u(6.81)=6*6.81-0.44*6.81²-40

                                                                u(x)=-19.54, Pérdida mínima

 

Como deciamos anteriormente, I(x)=xp(x) es menor que c(x)= 0.4X² + 3X + 40 , como lo demuestra el sigueinte grafico: La función en verde es c(x) y la roja I(x), ingresos

 

 

 



Por lo tanto si se quieres obtener utilidades se debe cambiar la función precio de venta o la función costos, de tal forma que x(px) sea mayor que c(x)

 

 

Grafico u(x):  la diferencia de las dos funciones anteriores,u(x)=I(x)-c(x)= -0.44x2 + 6x – 40

 

 

Espero les sirva, chao.

Maximizar utilidad, ejemplo1

Mi amigo Dago Pinto,  estudiante de administración,solicitó:

Un fabricante puede producir casetes para vídeo a un costo de $2 la unidad.

Los casetes se venden a $5 la unidad. A este precio, los consumidores han comprado 4.000 casetes al mes. El fabricante planea subir el precio de los casetes y estima que por cada aumento de $1 en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes.

¿A qué precio debería vender el fabricante los casetes para obtener la máxima utilidad?

SOLUCIÓN:

 

 

Espero les ayude, chao

Cuál es el triangulo isósceles de perímetro L con mayor área?

¿Cuál es el triangulo isósceles de perímetro L con mayor área?:

Para solucionar este problema se requiere maximizar el área de dicho triangulo

 

Figura 1

 

 

 La función que representa el área  y que posteriormente debemos maximizar, es:

Pero esta función la escribimos en función de una sola variable, quedando así:

Ahora derivamos  S(y) e igualamos a cero y resolvemos la ecuación

Por lo tanto el triángulo isósceles con
mayor área dado un perímetro L, es el triángulo equilátero.